As soluções abaixo correspondem ao desafio de matemática em clima de Natal publicado em 23 de dezembro. A ideia é menos “decorar truques” e mais perceber estratégias: dividir em partes, procurar invariantes, trabalhar com contradições e usar a lógica com cuidado.
Vale também usar estes enigmas em família ou em sala de aula como ponto de partida para discutir por que cada passo funciona. Em vários deles, o caminho certo aparece quando você troca a pergunta “quanto dá?” por “o que não muda?” ou “o que eu consigo eliminar?”.
Enigma 1 (moedas): encontrar a falsa com balança de pratos
Você recebe nove moedas de ouro idênticas à vista. Sabe-se que uma delas é falsa e que pesa menos do que as verdadeiras. Usando uma balança de dois pratos (daquelas antigas), qual é o menor número de pesagens necessário para descobrir qual é a moeda falsa?
Solução (em duas pesagens):
1) Separe em três grupos de três moedas e coloque dois grupos para pesar um contra o outro.
- Se um grupo ficar mais leve, então a moeda falsa está entre essas três.
- Se der equilíbrio, então a moeda falsa está no grupo que não foi pesado.
2) Pegue o grupo onde está a moeda falsa e pese duas moedas entre si.
- Se uma delas for mais leve, ela é a falsa.
- Se as duas tiverem o mesmo peso, então a falsa é a terceira, que ficou de fora.
Enigma 2 (ampulhetas): marcar 10 minutos com 4 e 7 minutos
Você voltou no tempo para ajudar a preparar a ceia de Natal. Sua tarefa é assar a torta natalina, mas você só tem duas ampulhetas: uma marca exatamente 4 minutos e a outra marca exatamente 7 minutos. Como medir 10 minutos exatos?
Solução (uma forma rápida):
- Vire as duas ampulhetas ao mesmo tempo.
- Quando a ampulheta de 4 minutos terminar, a de 7 minutos estará com 3 minutos restantes. Nesse instante, coloque a torta no forno.
- Quando esses 3 minutos restantes da ampulheta de 7 acabarem, vire novamente a ampulheta de 7 minutos.
- Deixe a ampulheta de 7 correr até o fim e retire a torta imediatamente. Assim, ela terá ficado 10 minutos exatos no forno.
Enigma 3 (vinho quente): obter 3 litros em cada garrafa sem desperdiçar
Você ficou responsável por distribuir o vinho quente, que está em dois barris cheios com 10 litros cada. O cozinheiro entrega uma garrafa de 5 litros e uma garrafa de 4 litros, ambas vazias, e exige que você termine com exatamente 3 litros em cada garrafa, sem derramar nada. Como fazer?
Solução (uma sequência possível):
Abaixo vai um procedimento com transferências sucessivas entre recipientes, registando os volumes em cada etapa.
- B1 e B2: os dois barris (começam com 10 L cada)
- g5: garrafa de 5 L
- g4: garrafa de 4 L
Observação: existem diferentes maneiras de chegar ao mesmo resultado; esta é apenas uma delas.
| Etapa | Ação | B1 (L) | B2 (L) | g5 (L) | g4 (L) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | Estado inicial | 10 | 10 | 0 | 0 |
| 1 | Encha g4 a partir de B1 | 6 | 10 | 0 | 4 |
| 2 | Despeje g4 em g5 | 6 | 10 | 4 | 0 |
| 3 | Encha g4 a partir de B1 | 2 | 10 | 4 | 4 |
| 4 | Complete g5 com g4 (g5 enche; sobra em g4) | 2 | 10 | 5 | 3 |
| 5 | Esvazie g5 de volta em B1 | 7 | 10 | 0 | 3 |
| 6 | Despeje g4 em g5 | 7 | 10 | 3 | 0 |
| 7 | Encha g4 a partir de B2 | 7 | 6 | 3 | 4 |
| 8 | Despeje g4 em B1 | 11 | 6 | 3 | 0 |
| 9 | Encha g4 a partir de B2 | 11 | 2 | 3 | 4 |
| 10 | Despeje de g4 em B2 até B2 completar 6 L | 11 | 6 | 3 | 0 |
| 11 | Encha g4 a partir de B2 até ficar com 3 L | 11 | 3 | 3 | 3 |
Ao final, as duas garrafas ficam com 3 litros cada, e o vinho não é desperdiçado (apenas transferido entre recipientes).
Enigma 4 (100 dias de Natal): somar de 1 a 100 sem fazer conta termo a termo
Imagine que existam 100 dias de Natal. No n-ésimo dia, você ganha £ n (libras esterlinas), indo de £ 1 no primeiro dia até £ 100 no último. Como calcular o total recebido sem somar, um por um, todos os 100 valores?
Solução (o truque atribuído a Gauss):
Considere s como a soma de 1 até 100:
s = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100
Escreva a mesma soma ao contrário:
s = 100 + 99 + 98 + … + 4 + 3 + 2 + 1
Somando as duas linhas termo a termo, do lado esquerdo fica 2s. Do lado direito, cada par dá 101 (1 + 100, 2 + 99, etc.). Como há 100 termos, aparecem 100 pares, então:
2s = 100 × 101 = 10.100
Logo:
s = 5.050
Portanto, o total recebido é £ 5.050.
Enigma 5 (sequência natalina): o próximo número
Considere a sequência com tema de Natal:
9, 11, 10, 12, 9, 5, …
(Observação: em algumas versões, o quinto termo aparece como 11.)
Qual é o próximo número?
Solução:
A sequência corresponde ao número de letras no nome de cada presente, na ordem em que aparecem na canção tradicional dos doze dias de Natal. Assim, o próximo termo é 5, referente a cisnes.
Lista completa (presentes em português com as contagens correspondentes à forma tradicional da canção):
- Perdiz (9)
- Rolinhas (11)
- Galinhas francesas (10)
- Pássaros cantores (12)
- Anéis de ouro (9; em versões alternativas, este valor pode mudar)
- Gansos (5)
- Cisnes (5)
- Camareiras (5)
- Damas (6)
- Lordes (5)
- Flautistas (6)
- Tamborileiros (8)
Nota: à primeira vista, isso pode parecer “pouco matemático”. Mas identificar padrões - mesmo quando eles parecem frágeis no começo - é parte essencial do pensamento matemático e, de forma mais ampla, do raciocínio crítico e criativo. Na Segunda Guerra Mundial, a seleção de pessoas para o centro aliado de decifração de códigos em Bletchley Park levou em conta, entre outros fatores, a capacidade de resolver palavras cruzadas especialmente difíceis.
Enigma 6 (100 afirmações): encontrar a única verdadeira
Entre as 100 afirmações abaixo, apenas uma é verdadeira. Qual?
- Exatamente uma afirmação desta lista é falsa.
- Exatamente duas afirmações desta lista são falsas.
- … e assim por diante, até:
- Exatamente 99 afirmações desta lista são falsas.
- Exatamente 100 afirmações desta lista são falsas.
Solução:
A única verdadeira é a 99ª afirmação.
Como existem 100 frases, e a frase de número n declara que há exatamente n frases falsas, isso só pode bater com a realidade quando n = 99.
Enigma 7 (chapéus): deduzir a cor do seu chapéu
Você e seus amigos Artur e Bob usam chapéus de Natal que podem ser vermelhos ou verdes. Ninguém enxerga o próprio chapéu, mas cada um vê os outros dois. Os chapéus de Artur e Bob são vermelhos.
Todos ouvem a informação: pelo menos um chapéu é vermelho.
Artur diz: “Não sei a cor do meu chapéu.”
Depois Bob diz: “Também não sei a cor do meu chapéu.”
Supondo que ambos raciocinam perfeitamente, dá para concluir a cor do seu chapéu?
Solução:
O seu chapéu tem de ser vermelho.
Se o seu chapéu fosse verde, então Artur veria um chapéu verde (o seu) e um vermelho (o de Bob). Nesse cenário, quando Artur dissesse que não sabe a própria cor, Bob poderia concluir na hora que o chapéu dele só poderia ser vermelho (porque, se Bob fosse verde, Artur teria visto dois verdes e saberia).
Mas Bob não consegue concluir. Logo, Bob não está vendo nenhum verde: ele está vendo dois vermelhos - o de Artur e o seu. Portanto, o seu chapéu é vermelho.
Enigma 8 (caixas trocadas): corrigir rótulos abrindo só uma caixa
Há três caixas sob a árvore de Natal:
- uma tem dois presentes pequenos;
- uma tem dois pedaços de carvão;
- uma tem um presente pequeno e um pedaço de carvão.
Cada caixa tem um rótulo dizendo o conteúdo - mas os rótulos foram embaralhados, e todas as caixas estão com rótulos errados.
Você pode retirar apenas um objeto, de apenas uma caixa. Qual caixa escolher para, depois disso, conseguir reorganizar os rótulos corretamente?
Solução:
Escolha a caixa que está rotulada como “um presente pequeno e um pedaço de carvão”.
Como nenhum rótulo está certo, essa caixa não pode conter a combinação mista. Portanto, ao retirar um objeto dela, você descobrirá se ela é: - a caixa de dois presentes, ou - a caixa de dois carvões.
Se, por exemplo, ao abrir você constatar que há dois presentes, então: - o rótulo “dois presentes” deve ir para essa caixa; - como os rótulos restantes também estão trocados, o rótulo “um presente e um carvão” deve ir na caixa que hoje está marcada como “dois carvões”; - e, por eliminação, o rótulo “dois carvões” fica na caixa que hoje está marcada como “dois presentes”.
Enigma 9 (sucos): o que fica “a mais” depois da troca?
Na cozinha há uma garrafa de 1 litro de suco de laranja e outra garrafa de 1 litro de suco de maçã.
- João coloca uma colher de sopa de suco de laranja na garrafa de suco de maçã e mistura bem.
- Em seguida, Júlia pega uma colher de sopa da mistura (da garrafa de maçã) e devolve para a garrafa de laranja.
Agora há mais laranja na garrafa de maçã, ou mais maçã na garrafa de laranja?
Solução:
As quantidades são iguais.
Este é um exemplo elegante de invariância (algo que permanece constante). No fim do processo, cada garrafa continua com 1 litro. Isso significa que a quantidade de suco de laranja que “entrou” na garrafa de maçã ocupou exatamente o mesmo volume de suco de maçã que “saiu” dela e foi parar na garrafa de laranja. Sem fazer contas, dá para concluir que as trocas se equilibram.
Pode parecer pouco convincente na primeira leitura - justamente porque a invariância permite chegar ao resultado sem calcular.
Enigma 10 (cédulas): quais virar para testar a regra?
Na cidade do Papai Noel, toda cédula tem, de um lado, a figura de Papai Noel ou Mamãe Noel; e, do outro, a figura de um presente ou de uma rena.
Um duende coloca quatro cédulas sobre a mesa, mostrando as figuras (uma por cédula) nesta ordem:
Papai Noel | Mamãe Noel | Presente | Rena
Então um duende mais experiente afirma:
“Se uma cédula tiver Papai Noel de um lado, então do outro lado necessariamente há um presente.”
Quais cédulas o duende jovem precisa virar para verificar se a afirmação é verdadeira?
Solução:
Ele deve virar:
1) a cédula que mostra Papai Noel - para conferir se do outro lado realmente há presente;
2) a cédula que mostra rena - para garantir que do outro lado não há Papai Noel (pois, se houvesse, o outro lado teria de ser presente, e não rena).
Pode dar vontade de virar a cédula de presente, mas a regra é do tipo “se Papai Noel, então presente”, o que não implica “se presente, então Papai Noel”. E também não é necessário virar a de Mamãe Noel, porque a regra não diz nada sobre ela.
Solução do enigma extra (velocidade média do Papai Noel)
O Papai Noel viaja de trenó da Groenlândia ao Polo Norte a 48,3 km/h e, em seguida, retorna do Polo Norte à Groenlândia a 64,4 km/h. Qual é a velocidade média em toda a viagem?
Solução:
Este é um bom exemplo do contraste descrito por Daniel Kahneman no livro conhecido no Brasil como “Rápido e Devagar: Duas Formas de Pensar”. A intuição apressada sugere fazer a média aritmética e responder 56,35 km/h - mas isso não está correto.
Aqui precisamos do raciocínio mais cuidadoso. Defina:
- d: a distância (em km) entre a Groenlândia e o Polo Norte;
- t₁: o tempo (em horas) da ida;
- t₂: o tempo (em horas) da volta.
Pela relação velocidade = distância / tempo:
- 48,3 = d / t₁ ⇒ t₁ = d / 48,3
- 64,4 = d / t₂ ⇒ t₂ = d / 64,4
A distância total é 2d, e a velocidade média é:
[ v\text{média}=\frac{2d}{t1+t_2}=\frac{2d}{\frac{d}{48,3}+\frac{d}{64,4}} ]
O d simplifica (cancela), então não precisamos conhecer a distância real:
[ v_\text{média}=\frac{2}{\frac{1}{48,3}+\frac{1}{64,4}}\approx 55,2\ \text{km/h} ]
Logo, a velocidade média da viagem inteira é aproximadamente 55,2 km/h.
Essa “mágica” de cancelar variáveis ilustra a força da álgebra: ela permite trabalhar com quantidades como marcadores, mesmo antes de saber seus valores.
Neil Saunders, professor sénior de Matemática, Departamento de Ciências Matemáticas, City St George’s, Universidade de Londres.
Este artigo foi republicado do portal A Conversa sob uma licença de Bens Comuns Criativos.
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