Veja a matemática por trás dos padrões 'impossíveis' que nunca se repetem.

Lembra do papel quadriculado que a gente usava na escola, aquele coberto por quadradinhos minúsculos?

Ele é um exemplo perfeito do que matemáticos chamam de revestimento periódico do espaço: formas que cobrem uma área inteira sem se sobrepor e sem deixar buracos.

Se deslocarmos todo o desenho pela largura de um ladrilho (uma translação) ou se o girarmos em 90°, veremos exatamente o mesmo padrão. Isso acontece porque, nesse caso, o revestimento inteiro herda a mesma simetria de uma única peça.

Já se você tentar revestir o chão de um banheiro com pentágonos no lugar de quadrados, a tarefa falha: pentágonos regulares não se encaixam entre si sem criar espaços vazios ou sobreposições.

De revestimentos a cristais: periodicidade e simetria

Em geral, padrões (feitos de “ladrilhos”) e cristais (formados por átomos ou moléculas) são periódicos, como uma folha de papel quadriculado, e por isso exibem simetrias relacionadas.

Entre todas as maneiras possíveis de organização, essas arrumações regulares costumam ser favorecidas na natureza porque se associam ao menor gasto de energia para serem montadas. E, curiosamente, só há poucas décadas ficou claro que também podem existir, em cristais, estruturas não periódicas - aquelas que geram padrões que nunca se repetem.

Foi para entender melhor como isso aparece que eu e meus colegas desenvolvemos um modelo que ajuda a explicar esse comportamento.

Padrões de Penrose: simetria rotacional sem repetição

Na década de 1970, o físico Roger Penrose mostrou que dá para construir um padrão usando duas formas diferentes baseadas nos ângulos e lados de um pentágono. O resultado se mantém igual quando é girado em passos de 72°: ao completar uma volta de 360°, ele “parece o mesmo” visto de cinco orientações diferentes.

Dentro desse desenho, percebemos que muitos pequenos trechos se repetem várias vezes. Por exemplo, numa ilustração típica desse tipo de padrão, a estrela laranja de cinco pontas reaparece continuamente.

Mas há um detalhe decisivo: em cada ocorrência, essas estrelas ficam cercadas por combinações diferentes de formas. Isso indica que o padrão completo não se repete em nenhuma direção. Em outras palavras, ele tem simetria rotacional, mas não tem simetria translacional.

Quasicristais em 3D: a descoberta que obrigou a redefinir “cristal”

Em três dimensões, a história fica ainda mais intrigante. Na década de 1980, Dan Schechtman observou uma liga de alumínio-manganês cujo arranjo era não periódico em todas as direções e, ainda assim, preservava simetria rotacional ao ser girado pelo mesmo ângulo de 72°.

Até então, cristais sem simetria translacional, mas com simetria rotacional, pareciam simplesmente inimagináveis - e muitos cientistas não aceitaram o resultado de primeira. Foi um daqueles casos raros em que a própria definição de “o que é um cristal” precisou ser ajustada depois de uma descoberta. Desde então, essas estruturas passaram a ser conhecidas como quasicristais.

Número irracional e razão áurea (phi) no coração dos quasicristais

O padrão que nunca se repete em um quasicristal nasce de um número irracional central na sua construção.

Num pentágono regular, existe uma relação famosa: a razão entre o comprimento do lado da estrela de cinco pontas que pode ser inscrita dentro do pentágono e o lado do próprio pentágono é o número irracional phi (não confundir com pi), aproximadamente 1,618.

Esse número também é chamado de razão áurea e satisfaz a relação phi = 1 + 1/phi. Por isso, quando um quasicristal é construído com ladrilhos derivados de um pentágono - como os que Penrose utilizou - a simetria rotacional em ângulos de 72° aparece naturalmente.

Essa simetria de cinco dobras pode ser vista tanto na representação de um quasicristal como dez linhas radiais ao redor de um ponto central (um modo comum de visualização), quanto num modelo físico da região central montado com Zometool.

No modelo, é útil imaginar que as esferas brancas marcam posições onde estariam as partículas/átomos da estrutura cristalina, enquanto as hastes vermelhas e amarelas representam ligações entre partículas - evidenciando as formas e simetrias do arranjo.

O que um sistema precisa para formar quasicristais 3D (e outros cristais também)

Em nossa publicação mais recente, identificamos duas características que um sistema deve apresentar para conseguir formar um quasicristal 3D:

1. Dois padrões em escalas diferentes de tamanho (comprimento) precisam coexistir no sistema, e essas escalas devem estar relacionadas por uma razão irracional adequada (como phi).
2. Essas duas escalas devem conseguir influenciar uma à outra de maneira forte.

Além dos padrões quasicristalinos que nunca se repetem, o mesmo modelo também consegue gerar outras estruturas cristalinas regulares observadas na natureza, como hexágonos, cubos de corpo centrado e outras variações.

Com isso, o modelo abre caminho para investigar a “competição” entre diferentes padrões e para determinar em quais condições os quasicristais tendem a surgir no mundo real.

Um aspecto complementar - e muito útil - é que arranjos não periódicos costumam produzir assinaturas de difração peculiares: em vez de um borrão difuso, podem aparecer picos bem definidos associados a simetrias rotacionais incomuns. Em laboratório, essas assinaturas ajudam a distinguir quasicristais de materiais desordenados, mesmo quando a estrutura não se repete por translação.

Também vale lembrar que, além da beleza geométrica, a forma como átomos se organizam impacta propriedades macroscópicas. Em vários sistemas, padrões quasicristalinos se associam a características como alta dureza, baixo atrito e boa resistência ao desgaste, o que explica o interesse em aplicações de superfície e revestimentos.

Por que isso importa: de matemática “viciante” a lasers e tintas

A matemática por trás de como esses padrões que nunca se repetem são gerados é valiosa para entender como eles se formam e, inclusive, para projetar estruturas com propriedades específicas. Por isso, na Universidade de Leeds, em conjunto com colegas de outras instituições, nos dedicamos a investigar esse tipo de questão.

Ainda assim, essa linha de pesquisa não é apenas um exercício conceitual (por mais “viciante” que seja a matemática envolvida): ela tem forte potencial prático, inclusive na criação de lasers quasicristalinos muito eficientes.

Quando padrões cristalinos periódicos são usados em um laser, a simetria do desenho repetitivo tende a produzir um feixe de baixa potência. Já a presença de defeitos no padrão cristalino - ou, alternativamente, o uso de um padrão quasicristalino que nunca se repete na extremidade de saída do laser - pode permitir um feixe eficiente com alta potência de pico.

Em outras frentes, alguns pesquisadores também estudam o tipo de acabamento refletivo que quasicristais poderiam oferecer se fossem adicionados a tintas de uso doméstico.

Priya Subramanian, pesquisadora em Matemática Aplicada, Universidade de Leeds.

Este artigo foi publicado originalmente no The Conversation. Leia o artigo original.