Cientista ligou luz e matéria cem anos antes da física quântica

O matemático e físico irlandês William Rowan Hamilton, que completaria 220 anos no mês passado, ficou popularmente associado a um episódio pitoresco: em 1843, ele gravou uma espécie de “grafite” matemático na Ponte Broome, em Dublin.

Apesar dessa anedota ter atravessado o tempo, durante a sua vida o prestígio de Hamilton estava principalmente ligado ao que ele realizou nos anos 1820 e no início dos anos 1830, quando ainda tinha pouco mais de vinte anos. Nesse período, criou ferramentas matemáticas novas para estudar raios de luz - isto é, a óptica geométrica - e também o movimento de objetos, no campo da mecânica.

O detalhe mais intrigante é que Hamilton construiu parte da sua mecânica apoiando-se numa comparação: ele tratou o percurso de um raio de luz como análogo ao caminho de uma partícula material.

Essa aproximação não surpreenderia se a luz fosse composta por partículas, como acreditava Isaac Newton. Mas e se a luz fosse, na verdade, uma onda? O que significaria, então, dizer que as equações que descrevem ondas e partículas são análogas de alguma forma?

A resposta só apareceria um século mais tarde, quando os pioneiros da mecânica quântica perceberam que o método de Hamilton não era apenas um recurso de comparação: ele antecipava algo profundo sobre a natureza física do mundo.

O enigma da luz e William Rowan Hamilton

Para situar Hamilton nessa história, vale recuar um pouco mais. Para objetos comuns e partículas, as leis fundamentais do movimento tinham sido publicadas por Newton em 1687. Ao longo dos 150 anos seguintes, investigadores como Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange e, depois, o próprio Hamilton reformularam essas ideias, criando versões mais flexíveis e sofisticadas do esquema newtoniano.

A chamada mecânica hamiltoniana mostrou-se tão poderosa e prática que, até 1925 - quase 100 anos depois - quase ninguém se deu ao trabalho de reexaminar com atenção o modo como Hamilton a havia deduzido.

A analogia que ele fez com trajetórias da luz funcionava independentemente da verdadeira natureza da luz. Ainda assim, na época havia fortes indícios de que a luz se comportava como onda.

Em 1801, o cientista britânico Thomas Young realizou o célebre experimento da dupla fenda: ao passar por duas aberturas, dois feixes de luz geraram um padrão de interferência, semelhante ao que se observa quando duas pedras caem num lago e as ondulações se sobrepõem. Cerca de seis décadas depois, James Clerk Maxwell concluiu que a luz se comporta como uma onda que se propaga no campo eletromagnético.

Energia, frequência, massa - e a chegada dos fótons

O quadro mudou em 1905, quando Albert Einstein demonstrou que certas propriedades da luz só fazem sentido se ela também puder agir como um fluxo de “partículas” - mais tarde chamadas de fótons. Einstein conectou essa hipótese a uma sugestão feita por Max Planck em 1900: os átomos só conseguiriam emitir ou absorver energia em porções discretas, como “pacotes”.

No seu artigo de 1905 sobre o efeito fotoelétrico - em que a luz arranca elétrons de determinados metais - Einstein utilizou a expressão de Planck para esses pacotes (ou quanta) de energia:

[ E = h\nu ]

Nessa fórmula, (E) é a energia, (\nu) (a letra grega nu) representa a frequência do fóton e (h) é a constante de Planck.

No entanto, em outro trabalho publicado no mesmo ano, Einstein introduziu uma expressão diferente para a energia de uma partícula, numa forma da hoje famosa relação:

[ E = mc^2 ]

Aqui, (E) volta a ser a energia, (m) é a massa da partícula e (c) é a velocidade da luz.

Assim, havia dois caminhos para calcular energia: um, ligado à luz, dependia da frequência (uma grandeza associada a oscilações e ondas); o outro, ligado a partículas materiais, dependia da massa.

Esse fio foi retomado em 1924 por Louis de Broglie, que propôs que a matéria - tal como a luz - poderia manifestar-se tanto como onda quanto como partícula. Experimentos posteriores confirmariam a sua ideia, mas já estava evidente que partículas quânticas, como elétrons e prótons, obedeciam a regras muito diferentes das que regem os objetos do quotidiano.

Era preciso, portanto, uma nova mecânica: a mecânica quântica.

1925: mecânica matricial, mecânica ondulatória e o regresso a Hamilton

O ano de 1925 trouxe não uma, mas duas teorias novas. A primeira foi a mecânica matricial, iniciada por Werner Heisenberg e desenvolvida por Max Born, Paul Dirac e outros.

Alguns meses depois, Erwin Schrödinger começou a construir a mecânica ondulatória. É aqui que Hamilton volta ao centro do palco.

Schrödinger ficou impressionado com a analogia que Hamilton havia traçado entre a óptica e a mecânica. Com imaginação e um longo trabalho de raciocínio cuidadoso, ele combinou as ideias de de Broglie com as equações de Hamilton para uma partícula material e, a partir disso, obteve uma equação de onda para a partícula.

Uma equação de onda comum descreve como uma função de onda muda no tempo e no espaço. No caso de ondas sonoras, por exemplo, a equação permite acompanhar o deslocamento do ar, em diferentes regiões, à medida que a pressão varia ao longo do tempo.

Já com a função de onda de Schrödinger, não era óbvio o que exatamente estaria “ondulando”. Aliás, ainda hoje existe controvérsia sobre se ela representa uma onda física real ou se é apenas uma construção matemática conveniente.

Dualidade onda-partícula e o mundo probabilístico

Mesmo com essas dúvidas de interpretação, a dualidade onda-partícula é um dos pilares da mecânica quântica - base de grande parte da tecnologia moderna, dos chips de computador a lasers e comunicação por fibra óptica, de células solares a exames de ressonância magnética, microscópios eletrônicos, os relógios atômicos usados na navegação por satélite e muito mais.

Seja lá o que for que “onda”, a equação de Schrödinger permite calcular com grande precisão a probabilidade de observar uma partícula - como um elétron num átomo - num determinado lugar e instante.

Isso aponta para outra característica desconcertante do domínio quântico: ele é probabilístico. Não dá para fixar antecipadamente a posição exata desses elétrons em constante oscilação, do mesmo modo que as equações da física clássica conseguem prever trajetórias de partículas do dia a dia, como bolas de críquete e satélites de comunicação.

A equação de onda de Schrödinger também tornou possível a primeira análise correta do átomo de hidrogênio, que possui apenas um elétron. Em particular, ela esclareceu por que os elétrons de um átomo só podem ocupar certos níveis de energia específicos - isto é, quantizados.

Com o tempo, demonstrou-se que, em quase todas as situações, as ondas quânticas de Schrödinger e as matrizes quânticas de Heisenberg eram duas formas equivalentes de descrever a mesma física. O próprio Heisenberg, aliás, também tomou a mecânica hamiltoniana como referência.

O Hamiltoniano hoje - e para além do “grafite” na ponte

Atualmente, ainda é comum escrever equações quânticas em termos da energia total do sistema - uma grandeza chamada de Hamiltoniano, em homenagem à forma como Hamilton expressou a energia num sistema mecânico.

Hamilton esperava que a mecânica que ele formulou por analogia com raios de luz tivesse um alcance amplo. Mas é difícil imaginar que ele tenha antecipado o quão certeira essa analogia se revelaria para compreendermos o mundo quântico.

Além disso, o famoso “grafite” na Ponte Broome remete a outro legado: os quaterniões, que surgiram da busca de Hamilton por novas formas de representar rotações. Hoje, essas ideias aparecem em aplicações modernas como computação gráfica, controlo de orientação e modelação de movimentos, mostrando que a criatividade matemática de Hamilton transbordou muito para além das discussões sobre luz e partículas.

Também vale notar que a influência do formalismo de Hamilton vai além da física quântica “padrão”: ao reescrever problemas em termos de energia e estrutura, ele ajudou a moldar a linguagem com que a física descreve sistemas complexos, desde modelos atômicos a tecnologias de precisão que dependem de previsões quânticas.

Robyn Arianrhod, pesquisadora associada, Escola de Matemática, Universidade Monash.

Este artigo foi republicado a partir da plataforma A Conversa, sob uma licença Comuns Criativos. Leia o artigo original.